| Der Standard IEEE-754 beschreibt das interne Speicherformat für die Darstellung von Gleitkomma-Zahlen, sowie Rechnungen, Sonderfälle usw. |
Diese Seite demonstriert die Codierung und Decodierung von Gleitkomma-Zahlen. Alle Angaben ohne Gewähr ! |
IEEE-754
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Das Standardformat für Gleitkomma-Zahlen |
| Grundlagen | Mantisse, Exponent und Speicherbreite |
Live-Codierung und Decodierung von Gleitkomma-Zahlen:
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| Codierung | Codierung Dezimal -> Binär |
| Decodierung | Decodierung Binär -> Dezimal |
| Sonderfälle | Zero, Infinity, Underflow, Overflow, NaN, ... |
| Fehler | Codier-Rest und Fehler |
| Verwandte Themen | Bitlevel-Operatoren |
Codierung einer Gleitkomma-Zahl nach IEEE-754 |
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Hier wird die Umwandlung am Beispiel einer "Single Precision" Zahl mit 32 Bit
(4 Byte) Speicherbreite demonstriert. Die Grundlagen des Verfahrens werden auf der Seite '→ Mathematische Grundlagen' beschrieben. Codierung aus Vorzeichen (1 Bit), → Exponent (8 Bit) und → Mantisse (23 Bit). Die Codierung von 'Double' (1+11+52 -> 64 Bit) und 'Quad' Zahlen (1+15+112 -> 128 Bit) funktioniert nach dem gleichen Verfahren, verwendet lediglich mehr Speicher-Bits. |
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Eingabe
Geben sie rechts eine Testzahl z ein oder klicken sie die
Taste für eine Zufallszahl.
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Testzahl
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z(dec) = 0
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Vorzeichen
0 für Null und positive Zahlen, 1 für negative Zahlen.
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Vorzeichen (1 Bit) = 0
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Exponent
Exponent = int( ln(z) / ln(2) )Wert des Exponenten = 2^Exponent Codierung im → 2er-Komplement Binär-Code (8 Bit) des Exponenten |
Exponent(dec) = 0
ExponentWert(dec) = 0 Exponent + 127 = 0 Exponent = 00000000 |
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Mantisse
Mantisse = Zahl / Exponent-WertBinär-Code der Mantisse (24 Bit) abzügl. führendes → Hidden Bit; (23. Bit) |
Mantisse (dec) = 0
Mantisse = 1.000000 - Hidden Bit = 00000000 |
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Zusammensetzung
IEEE-754 = Vorzeichen + Exponent + MantisseDer gleiche Code (32 Bit) in Byte-Gruppen und in Hexdezimal-Code |
0 00000000 00000000000000000000000
00000000 00000000 00000000 00000000 00 00 00 00 |
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Speicherform
In den meisten Betriebssystemen werden Worte aus >1 Bytes in umgekehrter Reihenfolge
('Little Endian') gespeichert.
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00 00 00 00
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Decodierung |
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Eingabe der Speicherform
Geben sie rechts einen 4-Byte Hex-Code ein oder klicken sie
die Taste für Zufallscode bzw. den oberhalb erstellten Code.
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Testcode (Speicherform) und Umkehrung (höchste Ziffer MSB links) |
00 00 00 00
00 00 00 00
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Binärcode und Aufspaltung in Vorzeichen + Exponent + Mantisse |
00000000
00000000
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Mantisse (roh) und mit regeneriertem Hidden Bit Mantisse (dec) |
00000000
1.000000
0
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Exponent
decodiert im 2er-Komplement,Exponent (dec) ExponentWert (2^Exponent) |
00000000
0
0
0
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Vorzeichen (binär) und Dezimal (+/-1) |
0
0
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Decodierte Zahl
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0
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Sonderfälle |
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| Einige Sonderfälle werden durch ein spezielles Bitmuster ausgewiesen. Alle BitMuster werden mit dem richtigen Stellenwert gezeigt (höchstes Byte MSB links). | Klicken sie die Tasten, um den jeweiligen Sonderfall bei der Live ↑ Codierung und Decodierung zu testen. | ||||
| Zero - Zahl ist Null oder kleiner als die kleinste darstellbare positive Zahl (Positive Underflow) |
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| Negative Underflow - Zahl ist negativ und kleiner als die kleinste darstellbare positive Zahl. |
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| +Infinity - Zahl ist positiv und ihr Betrag größer als die größte darstellbare Zahl (d.h. Exponenten-overflow) |
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| -Infinity - Zahl ist negativ und ihr Betrag größer als die größte darstellbare Zahl (d.h. Exponenten-overflow) |
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| NaN - keine Zahl (Not a Number). Es gibt mehrere Codes für verschiedene Varianten von NaN. |
NaN wird hier nicht Live demonstriert (Kein Button)
7F 80 00 01, 7F BF FF FF, 7F C0 00 00,
7F FF FF FF, FF 80 00 01, FF BF FF FF, FF C0 00 01, FF FF FF FF |
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| Größte darstellbare Zahl - kein Sonderfall, aber eine Grenze der Codierung |
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| Kleinste darstellbare Zahl - kein Sonderfall, aber eine Grenze der Codierung |
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Codier-Rest und Fehler |
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Nicht jede Zahl lässt sich durch eine binäre Mantisse (mit endlicher Länge)
darstellen. Bei der Codierung mancher Dezimalzahlen kann ein kleiner Rest bleiben -
kleiner als oder gleich groß wie der Zahlenwert des letzten Mantissen-Bits. Beispiel:
Die Dezimalzahl 1/3 lässt sich im Dezimalsystem ebenso wie im
Binärsystem mit endlich vielen Ziffern nur annähern:0.3 -> 0.33 -> 0.333 -> 0.3333 usw. Mit zunehmender "Speicherbreite" steigt die Genauigkeit. |
►
Der Codier-Rest tritt in der Mantisse auf, daher handelt es sich um einen relativen Fehler -
er ist proportional zum Betrag der Zahl. ► Nach Mulitplikation mit dem jeweiligen Exponenten-Wert erhält man den absoluten Fehler. ► Der Fehler lässt sich in der Praxis noch etwas verkleinern, wenn die Mantisse vor der Codierung auf die Anzahl codierbarer Bits gerundet wird (hier nicht ausgeführt). |
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Rest bei ↑ Codierung der
Testzahl (Live): Fehler = Rest * Exponent-Wert In ↑ Sonderfällen keine Aussage über Rest und Fehler ! Durchschnittlicher Rest ohne Rundung = 2^(-24) Durchschnittlicher Rest mit Rundung = 2^(-25) |
Rest = 0
Fehler = 0 Restor = 6E-08 Restmr = 3E-08 |
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