Geodetische Modelle @ PS-Trainer

Erd-Modelle
In allen kulturell hoch entwickelten Völkern entstand das Bedürfnis nach einer geometrischen Beschreibung ihrer bekannten Umwelt.	Ein abstraktes Modell ist eine große gedankliche Leistung und verlangt die Fähigkeit, eine den lokalen Bergen und Tälern übergeordnete Struktur zu erkennen und zu beschreiben.
Es ist kein Zufall, dass man zunächst immer zum Modell einer flachen ↓ Scheibe gelangte.	In der Antike ging man zum 3dimensionalen Modell einer ↓ Kugel über und konnte sogar deren Größe berechnen. Das Kugel-Modell ist noch heute gut genug für einfache Rechnungen.
Mit genauer werdenden Messungen entdeckte man die Abflachung der Erde an den Polen und entwickelte Erd-Modelle mit ↓ Rotations-Ellipsoiden.	Die Vielzahl national und regional optimierter Ellipsoid-Modelle wird seit Beginn des 21. Jahrhunderts durch ein einziges globales Modell abgelöst.

Flache Erd-Modelle
Die Erd-Oberfläche wird von allen Menschen in halbwegs natürlicher Umgebung als flach erlebt. Sie erstreckt sich in alle Richtungen offenbar sehr weit. Sie erscheint eben, denn hinter allen diese Ebene störenden Bergen findet man ein Tal. Die äußerste Grenze der begehbaren Fläche ist in jedem Fall ein Meeresufer. Menschen früherer Zeiten legten zu Fuß oder auf Reittieren Entfernungen von mehreren 100km zurück und fanden das flache Modell stets bestätigt.	Es ist daher kein Zufall, dass alle Naturvölker unabhängig voneinander die Erde als flache Scheibe beschrieben. Der Begriff der Unendlichkeit erfordert sehr abstraktes Denken, deshalb wird die flache Erde in einfacher Form als (endliche) Scheibe und nicht als mathematisch unendlich weit ausgedehnte Ebene beschrieben. Erd-Scheibe
Flache Erd-Modelle sind keineswegs so lächerlich, wie es heute erscheint: Das moderne → UTM-System transformiert die reale Erd-Oberfläche mit großem mathematischen Aufwand in eine ebene Fläche. Dieses System bietet für kurze Entfernungen (<100km) zahlreiche praktische Vorteile.	Alle Landkarten sind mehr oder weniger gute, immer jedoch flache Abbildungen der Erd-Oberfläche. Lediglich bei großen Entfernungen und im globalen Maßstab haben flache Erd-Modelle heute ausgedient.

Kugel-Modell der Erde - Geschichte

Geschichte

Das Modell von der Erde als Kugel wurde schon im griechischen Altertum entwickelt. Man muss genau beobachten, scharf nachdenken, und sich dazu Zeit nehmen, um zwangsläufig zu diesem Modell zu kommen.

Mondfinsternis

Eine Mondfinsternis ist ein vergleichsweise häufiges astronomisches Ereignis, welches 1-2mal jährlich auftritt. Der Wisschenschafter (damals: Philosoph) Eratosthenes (275-194 vuZ) beobachtete, dass der über den Mond ziehende Schatten der Erde immer genau kreisförmig war. Er interpretierte das als Beweis für die Kugel-Gestalt der Erde und schätzte aus der Form der Schattengrenze die Größe des Mondes auf etwas weniger als 1/3 der Erde (<0.333)
Heute verwendete Werte der mittleren Durchmessser:

Mond: 3476km
Erde: 12756km
Verhältnis: d[erde] / d[mond] = 0.27

Näher kommende Schiffe

Dieses Beispiel wird Parmenides (540-475 vuZ) oder spätestens Aristoteles (384-322 vuZ) zugeschrieben:

Von jedem Schiff, welches aus großer Entfernung näher kommt, sieht man zuerst den Mast, erst später den Rumpf. Man muss daraus schließen, dass sich zwischen Beobachter und Schiff eine Aufwölbung des Meeres befindet, welche in großer Entfernung den Rumpf, in noch größerer das gesamte Schiff verdeckt.

Umgekehrte Argumentation: Wäre das Meer (= die Erd-Oberfläche) flach, dann würde man ein näher kommendes Schiff bereits aus wesentlich größerer Entfernung erkennen. Dabei müsste man stets das gesamte Schiff sehen, insbesondere auch den Rumpf, weil dieser wesentlich größer ist, als die feine Linie eines weit entfernten Mastes.

Sternbilder

Südliche Sternbilder erscheinen (auf der Nord-Halbkugel) unter einem umso größeren Winkel über dem Horizont, je weiter man nach Süden (zu kleineren geogr. Breiten lat) reist.
Das gleiche gilt sinngemäß für die Sonne und wurde von Eratosthenes zur ersten Messung verwendet (nächster ↓ Absatz).

Ein Beispiel mit europäischen Daten:
Der Sirius ist der hellste Stern des Winter-Himmels. Die Tabelle (rechts) zeigt den Winkel über dem Horizont (Altitude) zur Winter-Sonnenwende am 21.Dezember, zu jenem auch ohne Uhr gut bestimmbaren Zeitpunkt (mitteleurop. Zeit CET), wenn der Sirius genau in Süd-Richtung steht.
Die geografische Länge lon bestimmt den Zeitpunkt des Süd-Durchgangs. Die Ausgleichs-Gerade der Spalten lat/alt sollte die Werte k=-1; d=73.27 ergeben.

Sichtwinkel (alt) zum Sirius über dem Horizont, zur Winter-Sonnenwende genau im Süden:

Ort	lon	lat	CET	alt(Sirius)
Helsinki	24.93	60.18	2:08	13.11
Oslo	10.75	59.92	2:06	13.34
Berlin	13.40	52.52	1.55	20.76
Wien	16.37	48.21	1:43	25.05
Zürich	8.55	47.37	2:14	25.91
Rom	12.48	41.90	1:58	31.40
Neapel	14.25	40.83	1:51	32.66
Äquator	15.00	0.00	1:48	73.27

Bei bekannter Entfernung zwischen 2 Orten (möglichst mit gleicher geogr.Länge lon kann man daraus den Erdumfang berechnen.

Messung

Die erste Messung der Größe der Erdkugel gelang Eratosthenes mit einem genialen Experiment im Jahre 240 vuZ:
Er ließ den Winkel zur Sonne gleichzeitig an 2 in Nord-Süd-Richtung möglichst weit auseinander liegenden Orten messen.
• Dazu bot Ägypten die besten Voraussetzungen. Die Messpunkte waren Syene (Assuan) und Alexandria, von denen Eratosthenes annahm, dass sie am gleichen Meridian lagen.
Ungefähre Lage in modernen Koordinaten:

Alexandria: lon=29.93°, lat=31.22°
Assuan: lon=32.90°, lat=24.10°

• Die Distanz zwischen Syene und Alexandria wurde mit 5000 Stadien gemessen.
Heutige Daten (in Nord-Süd-Richtung, gesamt):

d(N-S) = 792.2km
d = 844.4km

• Die Messung wurde genau am Mittag der Sommer-Sonnenwende 240 vuZ ausgeführt. Diesen Zeitpunkt konnte man an beiden Orten unabhängig und sehr genau bestimmen.

• An beiden Orten wurde der Winkel eines senkrechten Stabes zur Sonne mit Hilfe der Länge seines Schattens gemessen. Er betrug in Assuan genau =0, in Alexandria

1/50 Vollkreis = 360°/50 = 7.20° = 7°12'

Zum Vergleich: Der Winkel-Abstand in Nord-Süd-Richtung beträgt nach heutigen Daten

zw = 7.117° = 7°7'

• Man muss also 5000 Stadien nach Süden reisen, um 1/50 des Erdumfanfgs zurückzulegen. Das ergibt für den Erdumfang 5000*50 = 250000 Stadien
• Die Länge eines Stadions ist heute nicht mehr genau bekannt und wird mit 150..180m angenommen. Als wahrscheinlichster Wert gilt

1 Stadion = 160m

Daraus ergibt sich für den Erdumfang

u(erde) = 46000km

Der heute verwendete Mittelwert von 40074km zeigt die erstaunliche Präzision dieses mit einfachsten Mitteln durchgeführten Experiments.

Das finstere Mittelalter

Mit der Herrschaft der katholischen Kirche breitete sich ein Jahrtausend der Finsternis (nicht nur) über die Wissenschaft. Viele Erkenntnisse der Antike gingen verloren und mussten unter schwierigen Bedingungen gegen die Macht der Kirche neu erkämpft werden. Allerdings wird heute angenommen, dass zumindest einige führende Wissenschafter Kenntnis von der Kugel-Gestalt der Erde hatten. Als Wendepunkt gilt Nikolaus Kopernikus (1473-1543), der einem modernen, realistischen Weltbild zum Durchbruch verhalf.

Globale Reisen

Die globalen Entdeckungsreisen des 15. Jahrhunderts gingen bereits von der fixen Annahme des Kugel-Modells aus: Christoph Kolumbus (1451-1505) wagte als erster den Versuch, Asien nicht auf dem bekannten Weg nach Osten, sondern über den Atlantik im Westen zu erreichen.
Er unterschätzte allerdings die Entfernung erheblich, und erreichte 1492 zwar nicht Asien ('Indien') sondern die auf dem West-Weg dorthin liegende Insel Haiti (Hispanola) in Mittelamerika.

Erst seit Beginn der Raumfahrt ist es Menschen möglich, die Gestalt der Erde selbst zu sehen:
Aufgang der Erde über dem Mond, Apollo-8, 1968

Kugel-Modell der Erde - Zahlen

Kugel

Einige Daten und Formeln zur Verwendung des Kugel-Modells, mit heute üblichen Zahlenwerten (Mittelwerte)

Radius	r = 6378000 m = 6378 km
Umfang	u = 2 * r * π = 40074156 m = 40074 km
Fläche	f = 4 * r^2 * π = 5.112E+14 m^2 = 5.112E+08 km^2
Volumen	v = 4/3 * r^3 * π = 1.087E+21 m^3 = 1.087E+12 km^3
Masse	m = 5.974E+24 kg
Dichte	ρ = m/v = 5.515 g/cm^3 = 5515 kg/m^3

Das Kugel-Modell ist zwar eine 'ungenaue' Vereinfachung, jedoch wesentlich rascher und einfacher zu berechnen.

♣ Tipp: Verwenden sie es zur Abschätzung, oder wenn keine Daten oder Algorithmen für ein Ellipsoid-Modell verfügbar sind, sowie zur Kontrolle von Daten, die mit einem Ellipsoid berechnet wurden.

Großkreis

Jeder Kreis auf der Kugel-Oberfläche, dessen Mittelpunkt sich im Kugel-(Erd)-Mittelpunkt befindet, ist ein Großkreis.
Alle Großkreise sind gleich lang (40074 km).
Der bekannteste Großkreis ist der Äquator.
Der Ausdruck wird oft auch auf Kreisbögen mit dem gleichen Mittelpunkt angewendet (z.B. auf Meridiane = Halbkreis-Bögen von Pol zu Pol).

Ein Großkreis-Bogen ist die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten der Kugel-Oberfläche - Deshalb fliegt man zwischen Europa und Nordamerika nicht in Ost ↔ West Richtung, sondern auf der kürzeren 'Polroute' über Island.
♣ Wenn man auf der Oberfläche eines Globus einen Wollfaden zwischen 2 Orten spannt, dann nimmt er immer die Form eines Großkreis-Bogens an.
Auf einem Ellipsoid sind die Verhältnisse schwieriger zu beschreiben, dort hängt die Bogenlänge von der Richtung ab.

Zentralwinkel

Der Zentralwinkel (zw) ist jener Winkel, unter dem man die beiden Endpunkte eines Großkreis-Bogens vom Erdmittelpunkt aus sehen würde.

Berechnung des Zentralwinkels als Funktion von geografischer Länge (lon) und Breite (lat) von 2 Orten. Alle Winkel im Bogenmaß 0..2*π

zw = arccos(sin(lat1) * sin(lat2) + cos(lat1) * cos(lat2) * cos(lon2 - lon1))

Das Beispiel rechts zeigt jene Daten, die zur Berechnung des Experiments von Eratosthenes (Berechnung des ↑ Erdumfangs) dienen.

Beispiel: Alexandria-Assuan

Alexandria:

lon1[grad] = 29°56' = 29.93°
lon1 = 29.93 / 180 * π = 0.5224
lat1[grad] = 31°13' = 31.22°
lat1 = 31.22 / 180 * π = 0.5448

Assuan:

lon2[grad] = 32°54' = 32.90°
lon2 = 32.90 / 180 * π = 0.5742
lat2[grad] = 24°06' = 24.10°
lat2 = 24.10 / 180 * π = 0.4206

Zentralwinkel:

zw = arccos(sin(0.5448) * sin(0.4206) + cos(0.5448) * cos(0.4206) * cos(0.5742-0.5224))
zw = arccos(0.5183 * 0.4083 + 0.8552 * 0.9128 * 0.9987)
zw = 0.1324
zw[grad] = 0.1324 * 180 / π = 7.585° = 7°35'7"

Beispiel: Berlin - New York

Berlin: lon=13.40° lat=52.52°
New York: lon=-73.97° lat=40.87°
zw = 0.9999 = 57.29°

Großkreis-Bogen:

Berechnung der Länge eines Großkreis-Bogens für einen Zentralwinkel zw im Bogenmaß:
b[gk] = r * zw
Zentralwinkel in Grad (0..360):

b[gk] = 2 * r * π * zw[grad] / 360

Nur auf einer Kugel gilt diese Formel unabhängig von der Orientierung (räumlichen Richtung) des Bogens für alle Großkreis-Bögen.

Beispiel für zw=1°. Damit kann man abschätzen, welches Gebiet z.B. eine Landkarte von 1x1° zeigt:

zw[grad] = 1°
b[gk] = 2 * 6378km * π * 1 / 360 = 111.3 km

Beispiel Alexandria - Assuan (Bogenmaß, Gradmaß):

zw = 0.1324
b[gk] = 6378km * 0.1324 = 844.36km
zw[grad] = 7.585°
b[gk] = 2 * 6378km * π * 7.585 / 360 = 844.36km

Beispiel Berlin - New York:

zw[grad] = 57.29°
b[gk] = 2 * 6378km * π * 57.29 / 360 = 6377km

Vergleichen sie diesen Wert mit der Entfernung entlang des ↓ Breitenkreises.

Breitenkreis

Ein Breitenkreis ist ein Kreis auf der Erd-Oberfläche, parallel zum Äquator.
Sein Radius ist am Äquator identisch mit dem Erdradius (Kugel), verringert sich mit zunehmender geografischer Breite und wird am Pol r[bk,pol]=0

Berechnung des Breitenkreis-Radius als Funktion von Erdradius und geografischer Breite (Bogenmaß, Gradmaß):

r[bk] = r[e] * cos(lat)
r[bk] = r[e] * cos(lat[grad] / 180 * π)

Berechnung des Breitenkreis-Umfangs als Funktion von Erdradius und geografischer Breite (Bogenmaß, Gradmaß):

u[bk] = 2 * r[e] * cos(lat) * π
u[bk] = 2 * r[e] * cos(lat[grad] / 180 * π) *π

Die Länge eines Breitenkreis-Bogens als Funktion der geografischen Längen der beiden Endpunkte (Bogenmaß, Umrechnung aus dem Gradmaß):

b[bk] = abs(lon2-lon1) * r[bk]
lon1 = lon1[grad] / 180 *π

Beispiel für Mitteleuropa (lat=48°):

r[bk] = 6378km * cos(48 / 180 * π) = 4268km

(=67% des Erdradius)

Beispiel Berlin - New York (Mittelwert lat=46.7°)

r[bk]= 6378km * cos(46.7 / 180 * π) = 4375km
lon1 = 13.40 / 180 * π = 0.2339
lon2 = -73.97 / 180 * π = -1.2910
b[bk] = abs (-1.2910-0.2339) * 4375km
b[bk] = 1,5249 * 4375km = 6671km

Vergleichen sie diesen Wert mit der Entfernung entlang des ↑ Großkreises.

XYZ-Koordinaten

Cartesische Koordinaten verwenden zur Beschreibung von Punkten im 3dimensionalen Raum XYZ-Koordinaten:
• Alle 3 Achsen schneiden einander im Erdmittelpunkt.
• Jede der 3 Achsen steht normal (im rechten Winkel) auf die beiden anderen Achsen.
• Die Z-Achse ist durch die Rotation der Erde auf natürliche Weise festgelegt - sie führt durch beide Pole.
• Die beiden anderen Achsen werden willkürlich festgelegt, z.B. die X-Achse durch den Schnittpunkt von Äquator und Null-Meridian (durch Greenwich / London).

Berechnung der XYZ-Koordinaten:
Für Punkte der kugelförmigen Erdoberfläche, als Funktion ihrer geografischen Koordinaten im Bogenmaß:

x = r[e] * cos(lat) * cos(lon)
y = r[e] * cos(lat) * sin(lon)
z = r[e] * sin (lat)

Beispiel: XYZ-Koordinaten einiger Orte in km als Funktion ihrer geografischen Korodinaten in Grad

Ort	lon	lat	x	y	z
Nordpol	0.00°	90.00°	0	0	6378
Berlin	13.40°	52.52°	3775	899	5061
Greenwich	0.00°	51.50°	3970	0	4992
Wien	16.37°	48.21°	4078	1198	4755
Zürich	8.55°	47.37°	4272	642	4693
Libreville	9.45°	0.39°	6291	1047	43
Südpol	0.00°	-90.00°	0	0	-6378

Ausgezeichnete Orte: Die beiden Pole, Greenwich (nach Definition lon=0 und daher y=0), Libreville (nahe am Äquator)

Ellipsoid-Modelle der Erde

Verformung durch Rotation

Alle bisher beobachteten Himmelskörper rotieren, d.h. drehen sich um eine Achse.
Die dabei auftretende Fliehkraft treibt Masse von den Polen der Drehachse in Richtung des jeweiligen Äquators. Deshalb ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Äquator (große Halbachse a ) stets größer als jener zu einem Pol (kleine Halbachse b ). Die Bezeichnung für einen derartigen Körper lautet 'Oblates Spheroid' (rechts).

Die Gravitation (wechselseitige Anziehung aller Masse-Teilchen) wirkt der Fliehkraft entgegen, bis sich ein Gleichgewicht einstellt:
Ein Drehkörper ist umso stärker abgeflacht, je schneller er rotiert.
Diese Verformung ist möglich, weil sich scheinbar starre, feste Körper wie Erde oder Mond in planetarem Maßstab wie Flüssigkeiten verhalten, die ihre Oberfläche stets nach dem Gleichgewicht der darauf wirkenden Kräfte einstellen.

Nur sehr kleine Körper (z.B. Raumschiffe) verhalten sich starr: Es ist erwünscht, dass sie sich auch bei Rotation nicht allzu sehr verformen.

Sehr große Körper (Galaxien) sind keine einzelnen Körper, sondern Ansammlungen. Ihre Formen sind meist komplex und lassen sich nur in Sonderfällen mit einfachen Rotations-Ellipsoiden beschreiben.

Allgemeine (3achsige) Ellipsoide haben 3 voneinander unabhängige Achsen a,b,c
Sie spielen allerdings in der astronomischen Praxis keine Rolle.

Quelle: Wikipedia

Die Rotation aller Himmelskörper zeichnet eine der Achsen (die kleine Halbachse b) auf natürliche Weise aus.
In einem Drehkörper ist der Abstand zum Äquator (die große Halbachse a) in jeder Richtung der Äquator-Ebene gleich groß. Deshalb genügt zur Beschreibung eines Rotations-Ellipsoids die Angabe von 2 der 3 Ellipsoid-Achsen.

In der Praxis verwendet man auch andere, von den Achsen abgeleitete Variable (Tabelle ↓ unten). Die Formeln geben an, wie diese aus den Achsen berechnet werden und umgekehrt.

Rotations-Ellipsoid

Hier wird nur der Spezialfall 'Rotationsellipsoid' vorgestellt, mit den 3 Achsen a = c > b
● Ein Rotations-Ellipsoid hat im Gegensatz zu einer Kugel eine Vorzugs-Richtung - Die Rotationsachse durch die beiden Pole
Die Ebene normal auf die Achse sowie durch den Mittelpunkt ist die Äquator-Ebene, ihre Schnittlinie mit der Oberfläche der Äquator-Kreis (= längster Umfang). Diese Elemente werden als Fixpunkte der Orientierung eingesetzt. - Nicht nur auf der Erde sondern für alle größeren Himmelskörper.

• In Tabellen findet man immer den Wert von a
Die große Halbachse a ist der Abstand vom Zentrum zum Äquator.

• Als zweiter Wert wird meist 1/f angeführt, seltener b oder e
Die kleine Halbachse b ist der Abstand vom Zentrum zu einem Pol.
Die Lineare Exzentrizität e ist in einer Ellipse der Abstand zwischen Zentrum und Brennpunkt (focus). In einem Rotations-Ellipsoid gibt es keine Brennpunkte sondern einen Kreis mit den entsprechenden Eigenschaften in der Äquator-Ebene. e ist der Radius dieses Kreises.
Numerische Exzentrizität ε und Abflachung f isind dimensionslos. Beide Exzentrizitäten werden gelegentlich mit e bezeichnet, eine Verwechslung ist wegen der sehr unterschiedlichen Werte jedoch nicht möglich.

Aus 2 dieser Angaben lassen sich alle anderen Werte berechnen, allenfalls durch Umformen der Gleichungen.

Zahlenwerte des international am häufigsten verwendeten Erdmodells WGS84 (ohne Gewähr):

Große Halbachse (semi-major axis)	a = 6378137 m = 6378.137 km a^2 = b^2 + e^2
Kleine Halbachse (semi-minor axis)	b = a * (1-f) = sqr(a^2 - e^2) = 6356752.31424518 m = 6356.75231424518 km
Lineare Exzentrizität (lin.eccentricity)	e = sqr(a^2 - b^2) = 521854 m = 521.854 km
Numerische Exzentrizität (num.eccentricity)	ε = e / a = 0.0818191908426203
Abflachung (flattening)	f = 1 - b/a = 0.00335281066474746
Inv.Abflachung (inverse flattening)	1 / f = 298.257223563

Die rechts vorgestellten Werte werden in Berechnungen oft verwendet und daher meist vor Beginn aller anderen Rechnungen als globale Konstanten definiert oder als globale Variable berechnet:

Numerische Exzentrizität ε	ε = e/a = sqr((a^2 - b^2) / a) = 0.0818191908426203
e1^2 = ε^2	e1^2 = (a^2 - b^2) / a^2 = 2*f - f^2 = 0.00669437999014132
e2^2	e2^2 = ε^2 * a^2 / b^2 = (a^2 - b^2) / b^2 = 0.00673949674227643

Einige Formeln zum Rotations-Ellipsoid, mit heute üblichen Daten (meist aus WGS84):

Große Halbachse (Äquator-Radius)	a = 6378137 m = 6378.137 km
Kleine Halbachse (Pol-Radius)	b = 6356752.31424518 m = 6356.75231424518 km
Äquator-Umfang	u[eq] = 2 * a * π = 40075016.6855785 m = 40075.0166855785 km
Polar-Umfang	u[pol] = 40007883.96355 m = 40007.884 km
Oberfläche	f = 5.10065621724088E+14 m^2 = 5.1006562E+8 km^2
Volumen	v = 4/3 * a^2 * b * π = 1.08320731980141E+21 m^3 = 1.0832E+12 km^3
Masse	m = 5.974E+24 kg
Dichte	ρ = m/v = 5.515 g/cm^3 = 5515 kg/m^3

Diese Formeln sind komplexer:

Polar-Umfang:

Nur mit Näherung oder Reihen-Entwicklung zu berechnen.
Diese Reihe kann man schon nach dem 4. Glied (<1m) oder nach dem 5.Glied (Änderung <1mm) abbrechen:
(ε bezeichnet die ↑ numerische Exzentrizität)

u[pol] = 2 * a * pi * (g1-g2-g3-g4-g5)
g1 = 1
g2 = (1/2)^2 * ε^2 / 1
g3 = (1/2*3/4)^2 * ε^4 / 3
g4 = (1/2*3/4*5/6)^2 * ε^6 / 5
g5 = (1/2*3/4*5/6*7/8)^2 * ε^8 / 7

Oberfläche:

f = 2 * a * π * (a + (b^2 / sqrt(a^2 - b^2) ) * arcsinh(sqrt(a^2 - b^2) / b^2))

Breitenkreis:

r[bk] = sqr( 1 / ((1/a^2) + (tan^2(lat)/b^2) ))
u[bk] = 2 * r[bk] *π

Beispiel für Mitteleuropa (lat=48°)

lat = 48° = 48 / 180 * π = 0.837758
r[48°,Kugel] = r[e] * cos(lat) = 6378000 * 0.66913 = 4267715 m = 4267.715 km
u[48°,Kugel] = 26814844 m = 26815 km
r[48°,Ellipsoid] = sqr( 1 / (2.458E-14 + 3.0525E-14) ) = sqr(1.8147E+13) = 4259886 m = 4259.886 km
u[48°,Ellipsoid] = 26765656 m = 26766 km

Die Breitenkreise des Ellipsoids sind nur bis lat<4.58° größer als im Kugel-Modell, danach kleiner.

Zentrum

Unabhängig von der Form unterscheiden sich die Erdmodelle geringfügig durch die räumliche Lage des Zentrums.
Der Unterschied (dx, dy, dz) wird meist in Metern relativ zum Modell WGS84 angegeben.

Erd-Modelle

Mit den immer genauer werdenden Methoden der Landvermesssung wurde es notwendig, ein standardisiertes Modell des Rotations-Ellipsoids der Erde zu definieren.
Alle größeren Nationalstaaten entwickelten historisch eigene Modelle, die jeweils an die individuellen Vermessungs-Daten des jeweiligen Gebiets optimal angepasst waren.

Beispiele: Das von Friedrich Wilhelm Bessel 1841 für das Militärgeografische Institut (MGI) berechnete Herrmannskogel-Modell, optimiert für die österr.-ungarische Monarchie, ist noch immer die Grundlage des (allerdings auslaufenden) → ÖK-Kartenwerks. Das von Krassowski 1940 entwickelte Modell wurde u.a. in der DDR bis zu deren Ende verwendet.

Die Globalisierung erzwang spätestens um das Jahr 2000 ein international einheitliches Standard-Modell. Das heute allgemein verwendete Modell WGS84 ist global optimiert.
• Bei Verwendung moderner Daten (z.B. GPS) kann man vom Modell WGS84 ausgehen, wenn kein anderes angegeben ist.
• Bei Verwendung älterer Daten (z.B. von Landkarten) kann man ohne weitere Angaben das jeweilige nationale Modell annehmen.

Datum-Transformation

Die Umrechnung (geodätische "Datum-Transformation") von Orts-Koordinaten in ein anderes (rotations-elliptisches) Erd-Modell ist relativ aufwändig: Die Punkte der Oberfläche werden dabei als fix angenommen, das beschreibende Koordinaten-System (Ellipsoid) wird geringfügig verschoben und gedreht. Die Orts-Daten eines Punktes unterscheiden sich je nach Erd-Modell um einige 10-100 Meter.

Zur Umrechnung benötigt man 3 Faktoren für die Lage des Zentrums (Ursprung des Koordinatensystems) in Meter.
3 weitere Faktoren für die Orientierung der Achsen im Raum werden meist in Bogensekunden angegeben. Für die Verwendung in Winkelfunktionen werden sie in das Bogenmaß umgerechnet: 1' → 2*π/360/60/60 = 4.848E-6

Ein weiterer Faktor 'Skalierung' wurde aus praktischen Gründen zusätzlich eingeführt, obwohl das eine Redundanz darstellt. Der Skalenfaktor s ist sehr nahe 1 und wird daher meist als Abweichung von 1 in ppm (parts per million) angegeben.
Beispiel:

Abweichung ds = 1ppm = 1E-6
s = 1 + ds = 1.000001

Das ergibt insgesamt 7 Faktoren, die bei der Helmert-Transformation vollständig berücksichtigt werden. Genaue Angaben und Online-Umrechnungen findet man im Internet.
Für rasche und weniger genaue Transformationen werden meist nur 3 Faktoren ( Molodensky-Transformation) verwendet und die übrigen Faktoren vernachlässigt.

Die verwendeten Methode sollte sich am Zweck und an der Genauigkeit der verfügbaren Daten orientieren. Sowohl die terrestrische Vermessung mit (Laser)-Theodoliten als auch die Vermessung mit Satelliten (GPS) bieten nur begrenzte Genauigkeit. Daten älterer Herkunft sind um Größenordnungen weniger genau.

♣ Tipp: Unterscheiden sie diese Art der Transformation von der Umrechnung zwischen geografischen Koordinaten (Länge, Breite) und den XY-Koordinaten des → UTM-Systems in Metern.

Kontinentaldrift

Quelle: Wikipedia

Die Bewegung der Kontinente wurde von Alfred Wegener (1880 - 1930) entdeckt. Sie ist zwar im menschlichen Zeit-Maßstab winzig, jedoch mit den heutigen Methoden gut zu messen.
• Bei Berücksichtigung der Kontinentaldrift müsste man weltweit alle Orts-Koordinaten laufend anpassen, oder zusätzlich den Zeitpunkt angeben.
• Es gibt keinen Fixpunkt zur Messung, da alle Kontinente driften. Politiker und Kirchenfürsten aller Zeiten waren allerdings nie verlegen, die eigene Hauptstadt zum Mittelpunkt (hier: Fixpunkt) der Erde zu ernennen...

Man geht in der Praxis von starren Kontinenten aus, innerhalb derer die Orts-Koordinaten konstant sind. Daher trennt man das tatsächlich Zeit-abhängige Internationale Referenz-System ITRS von den kontinentalen Systemen - für Europa ETRS.
In diesem Fall kann man die Drift relativ einfach beschreiben. Transformation ITRS ↔ ETRS89:

tx=0.054m, ty=0.051m, tz=-0.048m
rx=0.000081*δt, ry=0.00049*δt, rz=-0.000792*δt
s=0

für δt = Zeit in Jahren seit Fixierung des ETRS (1989).
Derzeit (2000) gilt daher

rx=?m, ry=?m, rz=?m

In den meisten Tabellen sind Erd-Modelle durch ihre Differenzen zum derzeitigen Standard-Modell WGS84 definiert:

Differenz der großen Halbachse:

da = a(WGS84) - a(Modell)

Differenz der Abplattung:

df = f(WGS84) - f(Modell)

Die Differenz df wird manchmal (Garmin-GPS) mit dem Faktor 10000 multipliziert.

Beispiel: Für das Ellipsoid Bessel 1841 (Österreich) ergibt sich (unverbindlich)

dx=653, dy=-212, dz=449
da=653,135, df=0.10037483

Wenn man die Drehung der Koordinatensysteme vernachlässigt, dann kann man (z.B. für GPS-Geräte) die Erdmodelle mit den hier angeführten 5 Faktoren berechnen.

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Geoid
Die reale Form der Erdoberfläche lässt sich auch mit einem optimal angepassten Ellipsoid nicht beliebig genau abbilden. Durch unregelmäßige Verteilung der Massen, durch Strömungen im Erdmantel und andere Effekte gibt es großräumige Abweichungen in der Größenordnung einiger 10m.	Das Geoid ist jene Form, die durch die genaue Messung der Erdanziehung (Gravitation) definiert ist. Sie weicht real um einige 10m von jener eines Ellipsoids ab. Im Internet findet man aktuelle Daten.
Quelle: Peter Dana, Univ.Texas Man erkennt u.a. einen 'Hügel' in Europa und im Nord-Atlantik, sowie ein 'Tal' im Indischen Ozean. Für Kontinente gibt es Geoid-Daten mit wesentlich mehr Details, z.B. EGG97 ↓ für Europa, GEOID03 für die USA. Die Daten werden im Abstand einiger Jahre aktualisiert.
Das Diagramm beschreibt die Differenzen der mittleren realen Erdoberfläche (Geoid) zum global optimierten Standard Ellipsoid-Modell WGS84.	Bei entsprechend genauer Messung ändern sich die Details auch mit der Zeit. Beispiel: Die Verschiebung großer Massen durch die Kontinentaldrift oder das Wasser der mit der Klima-Katastrophe rasch abschmelzenden Eismassen.
Quelle: Univ.Hannover 'Quasi'-Geoid für Europa Details nach dem Modell EGG97 (1997) Mitteleuropa liegt im Bereich um +40m, Island (Nahtstelle der Kontinentalplatten) um +70m

Kartografie	Orientierung auf der Erdoberfläche
Erd-Modelle	Abstraktion der erlebten Erdoberfläche zu mathematischen Modellen
Scheibe	Historisch, aber folgerichtig und keineswegs lächerlich
Kugel-Geschichte	Geschichte, Beweise, erste Berechnungen
Kugel	Daten, Rechnungen, Beispiele
Ellipsoid	Rotations-Ellipsoid (Oblates Spheroid) - Daten, Rechnungen, Beispiele
Geoid	Abweichungen der Realität vom mathematischen Modell
Links	Ausgewählte Links zum Thema Erd-Modelle

Ausgewählte Links zum Thema 'Erd-Modelle'
Univ.Texas - Map Collection, Map Sites (Links !)	CIA - Maps & Publications Geoid: USA, DEM: USA
Wikipedia: Erd-Modelle: WGS84, GRS80, ETRS89,	MapRef (en): Sammlung geodätischer Daten: Theorie, Projektion & Transformation, Werkzeug, nationale Referenzen (at, ch, de) Kowoma - Erdmodelle,

Geodätisches Datum

Mathematische Beschreibung der Erdoberfläche

Erd-Modelle

Flache Erd-Modelle

Kugel-Modell der Erde - Geschichte

Geschichte

Kugel-Modell der Erde - Zahlen

Kugel

Großkreis

Zentralwinkel

Großkreis-Bogen:

Breitenkreis

XYZ-Koordinaten

Ellipsoid-Modelle der Erde

Verformung durch Rotation

Rotations-Ellipsoid

Erd-Modelle

Datum-Transformation

Kontinentaldrift

Geoid

Ausgewählte Links zum Thema 'Erd-Modelle'