Fehler-Funktion (error-function) erf
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Fehler-Funktion
Diese Formel beschreibt die Fehler-Funktion als (nicht direkt berechenbares) Integral.
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Numerische Berechnung der Fehler-Funktion mit einer Taylor-Reihe:
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Der Iterations-Algorithmus erfordert Argumente 0>=z
Zur Berechnung negativer Argumente verwndet man die Beziehung:
erf(-z) = -erf(z)
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Ähnliche / verwandte Funktionen kann man unschwer mit Hilfe
von erf() berechnen, z.B.
Komplement der Fehlerfunktion:
erfc(z) = 1 - erf(z)
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Der Algorithmus funktioniert für kleine -1...z...+1
ausgezeichnet und erreicht mit <=18 Schritten die maximale
→ Genauigkeit von ca.
15 Dezimalstellen.
Je weiter man sich von z=0 entfernt, umso mehr nimmt die
Anzahl der Schritte und noch schneller die Rechenzeit zu.
Die praktisch nutzbare Grenze liegt bei ca. -4...z...+4
mit n<70 Iterations-Schritten.
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Größere absolute Werte von z lassen sich
theoretisch noch bis zu jener Grenze berechnen, welche gerade noch mit der verwendeten
Fakultäts-Funktion n! berechnet werden. Im VBA-Programm
wird eine Grenze von maximal n<=150 Schritten vorgegeben,
die jedoch nur zu Demonstrations-Zwecken dient.
In der Praxis haben Rechnungen außerhalb der Grenze von 4 Standard-Abweichungen
nur wenig Bedeutung, weil damit bereits 99.994% aller Zufalls-Werte erfasst werden.
Wenn man sie dennoch braucht, verwendet man Näherungs-Formeln (hier nicht
angeführt).
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Basic:
Der Wert von 2/sqr(pi) wird nicht berechnet,
sondern in der Konstanten sqpi2 vorgegeben.
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Das Vorzeichen des Arguments x wird geprüft, bei Bedarf
umgekehrt und in der Variablen sgn_x gespeichert.
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Alle zur Berechnung verwendeten Variablen werden vor Beginn der Schleife
initialisert = auf die passenden Anfangswerte gesetzt.
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In der Schleife wird bei jedem Durchgang 1 Element der Iteration berechnet:
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Zuerst wird das Ergebnis der letzten Rechnung in der
Variablen vsum gespeichert.
•
Das Vorzeichen sgn_n wird vor jedem Element umgekehrt.
•
Der Exponent n_exp wird berechnet.
•
Zähler n_1 und Nenner n_2
werden getrennt berechnet und als Element zur laufenden Summe sum
addiert.
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Der Schleifen-Zähler n wird erhöht.
●
Nach der Berechnung erfolgen 2 mit ODER (Or) verknüpfte Tests:
Wenn entweder die maximale Anzahl nmax der Schritte erreicht
wurde, oder sich das Ergebnis vsum=sum im letzten Schritt
nicht mehr geändert hat, dann wird doloop=False gesetzt
und die Schleife abgebrochen.
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Nach dem Abbruch der Schleife wird das Vorzeichen sgn_x
berücksichtigt und mit der Konstanten 2/sqr(pi)
multipliziert.
Anwendung der Funktion in einem Kalkulations-Programm:
=my_erf(C1)
Beispiel:
my_erf(1) = 0.842700792949713
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Basic (LibreOffice-Basic,
Visual Basic, VBA) Funktion zur Berechnung der Fehler-Funktion:
Const sqpi2 = 1.12837916709551
Function my_erf( _
ByVal x As Double, Optional ByVal nmax As Integer = -1) _
As Double
Dim doloop As Boolean
Dim sgn_x, sgn_n, n As Integer
Dim n_1, n_2, n_exp, sum, vsum As Double
' Limit number of iteration loops (Demo:150, Realistic:80)
If nmax < 0 Then nmax = 150
' Sign of argument x
If x >= 0 Then
sgn_x = 1
Else
sgn_x = -1
x = -x
End If
' Initialize variables
n = 0
sgn_n = -1
sum = 0
doloop = True
' Iteration loop:
While doloop
vsum = sum
sgn_n = sgn_n * -1
n_exp = 2 * n + 1
n_1 = sgn_n * x ^ n_exp
n_2 = my_fakt(n) * (2 * n + 1)
sum = sum + n_1 / n_2
n = n + 1
' Test: exit loop ?
If (vsum=sum Or n>nmax) Then doloop = False
Wend
my_erf = sgn_x * sqpi2 * sum
End Function
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Hilfs-Funktionen
Alle verwendeten Hilfs-Funktionen lassen sich optional selbst programmieren,
z.B. (rechts) die →
Fakultät-Funktion n!
Die Berechnung von →
Quadratwurzel sqrt() und
→
Exponential-Funktion exp() kann mit Hilfe von
Reihenentwicklungen erfolgen.
Auf diese Weise ist es möglich, alle auf dieser Seite vorgestellten Funktionen
lediglich mit Hilfe der 4 Grundrechnungs.-Arten (Addition, Subtraktion, Multiplikation,
Division) auszuführen.
Praktische Anwendung: Überall, wo keine mathematischen /
statistischen Funktionen verfügbar sind, z.B. in manchen Programmiersprachen
oder in einfachen MikroProzessoren.
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Hilfs-Funktion my_fakt() zur Berechnung der
→
Fakultät-Funktion n! in
Basic
(LibreOffice-Basic, Visual Basic, VBA).
():
Private Function my_fakt(ByVal number As Integer) As Double
' 0 >= number <=170
Dim i As Integer
Dim f As Double
f = 1
For i = 1 To number
f = f * i
Next
my_fakt = f
End Function
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Alternativen
Es wurden einige Näherungen und Alternativen zum hier vorgestellten Algorithmus
getestet.
Keine der z.B. in Wikipedia
(de,
en)
angeführten Näherungen oder Alternativen erreicht in der Praxis eine
höhere Genauigkeit oder einen größeren Werte-Bereich.
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Die Ursache dürfte sein, dass in allen Fällen kleine Differenzen zwischen
großen (und einander sehr ähnlichen) Werten zu berechnen sind. Dabei kommt
man mit der üblichen Genauigkeit von Kalkulations-Programmen oder
Double-Gleitkomma-Typen von Programmiersprachen rasch an die Grenze der
Leistungsfähigkeit.
Gute MathematikerInnen können den Algorithmus evtl. etwas umstellen, oder man
verwendet bei Bedarf Programmiersprachen mit Unterstützung beliebiger Genauigkeit.
Diese Möglichkeit wird durch zusätzliche Module
(→ Perl,
→ PHP, ...) geboten,
jedoch auf Kosten einer langsamen Berechnung.
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Algorithmen
