Anwendung der Logarithmus-Funktion
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Eine klassische Anwendung des Logarithmus ist die Vereinfachung schwieriger
Rechnungen. Dabei werden immer die beiden Funktionen ln()
und exp()
kombiniert, die einander umkehren.
Die Wirkung wird oft so formuliert, dass mit dem Logarithmus die
'Rechnungs-Stufe' herabgesetzt wird: Aus einer Multiplikation wird eine
Addition, aus einer Division eine Subtraktion, usw.
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In der Informatik spielen diese Methoden auf Prozessor-Ebene eine
wichtige Rolle:
Dort gibt es keine mathematischen Funktionen, in sehr einfachen Prozessoren
nicht einmal Multiplikation oder Division. Mit Hilfe der Logarithmus-Funktion
kann man auch Rechnungen einer 'höheren' Stufe ausführen.
Sowohl die Logarithmus-Funktion als auch die
→ Exponential-Funktion
lässt sich durch ↓
Reihen-Entwicklung berechnen.
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Multiplikation x*y
Die Multiplikation wird auf eine Addition der Logarithmen zurückgeführt.
ln (x * y) = ln(x) + ln(y)
Man berechnet die Logarithmen der Argumente x
und y, addiert diese und bestimmt das Exponential der Summe:
x * y = exp(ln(x) + ln(y))
Das erscheint heute als Umweg, war jedoch lange Zeit hindurch die Grundlage vieler
praktischer und zeitsparender Methoden und Geräte, z.B. des
Rechenschiebers. Wenn einmal für längere Zeit der Strom ausfallen
sollte, wird man sich daran erinnern...
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Beispiel:
123 * 456 = exp(4.812 + 6.122) = exp(10.935) = 56088
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Diese Methode wird verwendet, um den Algorithmus zur Berechnung des
Logarithmus sehr kleiner Argumente x zu beschleunigen:
ln(x * 2) = ln(x) + ln(2)
Eine beliebige kleine Zahl x<0.5 wird so oft verdoppelt,
bis 0.5<=x<1 ist. Das kostet zwar Rechenzeit,
spart jedoch meistens wesentlich mehr durch die raschere Ausführung des
↓ Reihen-Algorithmus.
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Division x/y
Funktioniert ähnlich wie die Multiplikation. Sie wird auf eine
Subtraktion der Logarithmen zurückgeführt:
ln(x / y) = ln(x) - ln(y)
x / y = exp(ln(x) - ln(y))
Beispiel zur Halbierung einer
beliebigen Zahl x
ln(x / 2) = ln(x) - ln(2)
x / 2 = exp(ln(x) - ln(2)) = exp(ln(x) - 0.693)
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Diese Methode wird verwendet, um Argumente 1>x in den
Bereich 0<=x<1 zu transformieren:
ln(1 / x) = ln(1) - ln(x) = -ln(x)
weil ln(1)=0 ist. Die Umwandlung ist notwendig, weil der
↓ Reihen-Algorithmus nur
Argumente 0<=x<1 berechnen kann.
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Potenzierung x^y
Die Potenzierung wird auf eine Multiplikation zurückgeführt:
ln(x^y) = ln(x) * y
x ^ y = exp(ln(x) * y)
Beispiel:
2 ^ 10 = exp(0.693 * 10) exp(6.931) = 1024
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Die Potenzierung mit kleinen ganzzahligen Exponenten y
berechnet man meist schneller in einer Schleife:
x^3 = x * x * x
für Gleitkomma-Exponenten ist die Verwendung des Logarithmus jedoch die
Standard-Methode.
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Wurzeln x^(1/x)
Das Wurzelziehen wird auf eine Division zurückgeführt:
ln(x^(1/y)) = ln(x) / y
x ^ (1/y) = exp(ln(x) / y)
Für die Quadratwurzel wird
sqr(x) = x ^ (1/2) = exp(ln(x) / 2)
Beispiel: 3. Wurzel aus 100
100^(1/3) = exp(4.605 / 3) = exp(1.535) = 4.642
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Zur Berechnung einfacher ganzzahliger Wurzeln (Quadratwurzel, Kubikwurzel, ...)
verwendet man besser die darauf spezialisierten
→ Reihen-Algorithmen.
Gleitkomma-Wurzeln werden nur selten gebraucht, in diesem Falle verwendet man
die Division des Logarithmus als Standard-Methode.
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Genauigkeit
Wenn man Logarithmen verwendet, um die 'Rechnungs-Stufe' herabzusetzen,
dann kann sich dabei die Genauigkeit verringern. Es hängt von der
jeweiligen Rechnung (Formel, Algorithmus) ab, wie stark sich ein Fehler von
+/-1 der letzten Stelle auf das Ergebnis auswirkt.
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Test: Wenn sie in einer Rechnung y=ln(x)
verwenden, dann rechnen sie probeweise auch mit yerr=y*(1+1/1E15)
Die Differenz der beiden Ergebnisse ergibt die ungefähre Genauigkeit
(numerische Auflösung) ihrer Rechnung.
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Beispiel
Die hier vorgestellte Methode wird u.a. auf dieser Seite zur Beschleunigung
eines Algorithmus (Berechnung des
↓ natürlichen Logarithmus) verwendet. Dabei wird eine
(mehrfache) Multiplikation auf die (mehrfache) Addition eines Logarithmus
zurückgeführt.
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Eine Zahl x>1 wird durch fortgesetzte Halbierung in
einen optimalen Werte-Bereich gebracht, hier z.B. durch 4malige Division
durch 2 (das lässt sich binär besonders
rasch ausführen):
x = 12
a = x = 12
a = a/2 = 6
a = a/2 = 3
a = a/2 = 1.5
a = a/2 = 0.75
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Nun kann man den natürlichen Logarithmus durch
↓ Reihen-Entwicklung einfach und rasch berechnen:
b = ln(a) = -0.288
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Um den Logarithmus der Zahl x zu erhalten, wird
4mal der Logarithmus des vorher (links) verwendeten Divisors 2 addiert:
ln(2) = 0.693
b = b + ln(2) = 0.405
b = b + ln(2) = 1.099
b = b + ln(2) = 1.792
b = b + ln(2) = 2.485
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Damit hat man das Ergebnis berechnet - scheinbar auf Umwegen,
tatsächlich jedoch besonders schnell:
ln(x) = b = 2.485
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Logarithmische Skalen
Manchmal ist es notwendig, Zahlenwerte eines besonders großen Werte-Bereichs
darzustellen. Dazu verwendet man am besten eine logarithmische Skala.
Eine logarithmische Skala zeigt sowohl sehr kleine als auch sehr große
Zahlenwerte gleichzeitig an. Allerdings sind nicht alle Menschen in der Lage,
eine logarithmische Skala sinnvoll zu interpretieren.
Pisa- und andere Tests legen das nahe.
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Beispiel: Der römische Bürger Mercatorius
legt im Jahr 1 einen Aureus (röm.Goldmünze) bei der Bank von Rom an.
Die Bank verzinst die Einlage mit jährlich 3%.
Wenn Mercatorius das Geld nicht abhebt, sondern seinen Nachkommen vererbt, dann
hätte die Bank zunächst keine Probleme, das angesparte Kapital in Gold
aufzubringen: Nach 100 Jahren hätte der Wert lediglich 157g betragen,
nach 163 Jahren immerhin schon 1kg und nach 396 Jahren 1 Tonne Gold.
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Das angesparte Kapital in Gold, als 'gewöhnliches' (=lineares) Diagramm.
Der Wert nach 1000 Jahren beträgt 5.63E+13 g. Die vertikale Skala zeigt
das angesparte Kapital in Mt (Megatonnen = Mio t) Gold.
Im linearen Maßstab kann man nur die großen Zahlenwerte erkennen.
Die kleinen Zahlenwerte der ersten 600 Jahre sind in diesem Maßstab nicht
erkennbar (Rechtsklick in das Diagramm | Quelltext zeigt die Daten an).
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Dieses Diagramm zeigt die gleichen Daten an, die vertikale Achse ist jedoch im
logarithmischen Maßstab angelegt. Man kann nun alle Daten gut erkennen,
auch die kleinen Zahlenwerte. Die großen Zahlenwerte werden allerdings
weniger genau angezeigt.
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Wenn das römische Reich nicht rechtzeitig untergegangen wäre,
dann hätte die Bank allerdings zunehmende Probleme mit den Urenkeln
von Mercatorius bekommen:
Im Jahre 630 wären bereits 1000t Gold zu beschaffen, im Jahr 864 1 Mio t Gold.
Wenn die Bank alles Gold der Erdkruste bis in eine Tiefe von 4km fördern
ließe, dann hätte das theoretisch bis 1661 gereicht. Im Jahre 1944
wäre die Masse des Mondes in Gold fällig gewesen, im Jahre 2093
die Masse der gesamten Erde.
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Wie man sieht, kann ein derartiges System nur für begrenzte Zeiten funktionieren.
Langfristig muss es (wie bei jedem Pyramidenspiel) zu einem Kollaps
kommen, weil es keine beliebig großen Werte gibt. Das System lässt sich
länger erstrecken, wenn die laufende Entwertung größer als der
durchschnittliche Zins-Ertrag ist. Irgendwann reicht das nicht mehr aus,
und dann werden im Rahmen einer 'Wirtschaftskrise' größere Werte
pauschal vernichtet. Nur die SchülerInnen der Grundschule glauben noch daran,
dass sich ihr Taschengeld auf einem Sparbuch auf wunderbare Weise vermehren kann.
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Algorithmen
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