Iteration @ PS-Trainer

Algorithmen	Ausgewählte IT-Rezepte
Reihen	Allgemeine Überlegungen zur Programmierung
Genauigkeit	Abbruch beim Erreichen der maximalen Genauigkeit
Zahlenwert	Abbruch beim Erreichen der größten darstellbaren Zahlenwerte
Kalkulations-Programm	Programmierung mit LibreOffice, OpenOffice oder MS-Excel
Basic (VBA)	Programmierung von Reihen-Algorithmen mit LibreOffice- und Visual Basic
Javascript	Programmierung von Reihen-Algorithmen mit Javascript
Ausgewählte Algorithmen mit Reihenentwicklung:
Bernoulli	Bernoulli-Zahlen B[k]
Binomial-Koeffizient	Das Pascal-Dreieck und die Berechnung der Binomial-Koeffizienten
Ellipse	Umfang, Planetenbahn
Exponential	Reihen-Entwicklung von exp() mit Live-Beispielen
Fakultät	Fakultät-(Faktorielle)-Funktion n!
Fibonacci	Fibonacci-Folge, Goldener Schnitt
Julia	Berechnung und Grafik der Julia-Menge
Kreiszahl Pi	Reihen-Entwicklung mit Demo- und Live-Beispielen
Legendre	Berechnung von Legendre-Polynomen
Logarithmus	Reihen-Entwicklung von ln() und log() mit Live-Beispielen
Mandelbrot	Berechnung und Grafik der Mandelbrot-Menge
Normalverteilung	Gauß-Normalverteilung, ihr Integral und die Fehler-Funktion erf()
Quadratwurzel	Reihen-Entwicklung und Live-Beispiel
Winkelfunktionen	Sinus, Arcustangens Cosinus, und andere trigonometrische Funktionen
Links	Ausgewählte Links zum Thema 'Reihen-Algorithmen'

Reihen
Es gibt mathematische Aufgaben, die sich 'exakt' nur schwer oder gar nicht lösen lassen. Darunter fällt auch die Berechnung von Wurzeln, Logarithmen und Winkelfunktionen. Für einige dieser Aufgaben und Funktionen wurden Näherungs-Verfahren gefunden, die mit Reihen-Entwicklung arbeiten.	Der Algorithmus zur Berechnung der Arcustangens-Funktion mit einer Reihe dient als Beispiel für alle Kapitel dieser Seite: Quelle: Wikipedia Man kann das 'Bildungsgesetz' leicht erkennen und auch ohne Mathematik die nächsten Elemente der Reihe anschreiben: Im Nenner und im Exponenten tritt die Reihe der ungeraden Zahlen auf (1, 3, 5, 7, 9, ...), außerdem wechselt bei jedem Element das Vorzeichen.
Berechnung • Man berechnet jedes einzelne Element der Reihe. • Die Rechnung wird allgemein formuliert und nur ein einziges Mal in Anweisungen ('Befehle') formuliert. • Die allgemeine Berechnung legt man in eine Schleife, wo sie beliebig oft wiederholt wird. ● Der hier gezeigte Algorithmus ist eine Vereinfachung ! - Praktisch verwendbare Ausführung auf der Seite → Winkelfunktionen.	Ergebnis Je nach Algorithmus wird das Ergebnis auf unterschiedliche Weise gewonnen: • Summe: So wie im Beispiel der Arcustangens-Funktion (oben) werden die einzelnen Elemente der Reihe summiert. Die laufende Summe ist das Ergebnis. • Produkt: Die einzelnen Elemente der Reihe werden miteinander multipliziert. Das laufende Produkt ist das Ergebnis. • Element: Die Elemente selbst sind das Ergebnis.
Abbruch • In sinnvollen Reihen-Algorithmen wird das Ergebnis umso genauer, je mehr Elemente man berechnet. • Das Ergebnis nähert sich immer mehr dem theoretischen Wert, erreicht diesen jedoch erst nach Berechnung unendlich vieler Elemente. • Zur praktischen Durchführung muss man daher die Berechnung an einem bestimmten Punkt abbrechen. Die Entscheidung zum Abbruch sollte sinnvoll überlegt und programmiert werden. • Während der Entwicklung setzt man als zusätzliches Abbruch-Kriterium einen Zähler ein, welcher den Algorithmus nach einer maximalen Anzahl von Schleifen-Durchgängen sicher abbricht. Wenn die Funktion unter allen Bedingungen zuverlässig arbeitet, kann man den Zähler später entfernen.	Beispiel: Berechnung der Arcustangens-Funktion für x=0.5 mit dem Taschenrechner oder mit einem Kalkulations-Programm (OpenOffice-Calc, MS-Excel, ...) Die Elemente der Reihe werden immer kleiner: arctan(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + x^9/9 - ... arctan(0.5) = 0.5 - 0.04167 + 0.00625 - 1.116E-3 + 2.170E-4 - ... Die laufende Summe = Ergebnis nähert sich dem theoretischen Wert: arctan(x) = 0.5; 0.4583; 0.4646; 0.4635; 0.4637; 0.4636; ... arctan(x,theor.) = 0.463647609000806... Genauigkeit Als Maß für die erreichte Genauigkeit kann man die Zahl der übereinstimmenden Dezimalstellen bestimmen. Sie beträgt hier ungefähr: 0; 1; 2; 3; 4; 4; 5; 6; Rechenzeit: Ist am Taschenrechner unmerkbar kurz. Bei genauer Messung findet man, dass sie für die ersten Elemente sehr kurz ist, dann jedoch progessiv (immer schneller) zunimmt.

Genauigkeit
Genauigkeit gegen Geschwindigkeit Die erreichte Genauigkeit wird normalerweise als Kriterium für den Abbruch einer Reihen-Berechnung verwendet. Wenn nicht anders vereinbart, dann wird bis zur maximalen Genauigkeit gerechnet, die mit der internen Speicher-Form von Gleitkomma-Zahlen erreichbar ist, das sind derzeit ca. 15-16 Dezimalstellen. Die Praxis vieler Programme (z.B. Kalkulations-Programme) zeigt, dass dieser Kompromiss brauchbar ist: Die meisten Rechnungen werden mit ausreichender Genauigkeit und Geschwindigkeit ausgeführt. Viele praktische Aufgaben kommen mit wesentlich geringerer Genauigkeit aus. Vor allem bei der Steuerung realer Geräte (Real Time Prozess-Steuerung) kann man die Rechenzeit mit eigenen Programmen sehr verkürzen, wenn man die Reihen schon früher abbricht. Man kann beliebig viele Elemente berechnen, um eine größere Genauigkeit zu erzielen. Das kostet nicht nur viel Rechenzeit: Man muss zum Rechnen und zum Speichern eine andere interne Speicherform verwenden. Solche Rechnungen sind nur selten notwendig und erfordern spezielle Programme. Die meisten modernen Programmiersprachen bieten eigene Module für solche Rechnungen.	Double Precision nach IEEE-754 Gängige PC, Betriebssysteme und Programme verwenden Zum Rechnen mit Gleitkomma-Zahlen den Variablen-Typ 'Double Precision' (Binary64) nach Standard → IEEE-754. Für diesen Typ werden 8 Byte = 64 Bit Speicher verwendet. Die Gleitkomma-Zahlen werden ähnlich wie im 'wissenschaftlichen' Zahlenformat getrennt: -987.6 = -9.876E+2 Die Zahl wird in Mantisse (hier -9.876) und Exponent (hier +2) getrennt, allerdings binär codiert und nicht dezimal wie hier gezeigt. Beide Teile können ein Vorzeichen tragen. Grenze Für die Mantisse werden 52 Bit verwendet. Das bedeutet: Man kann theoretisch gerade noch die Zahl 2^52 von 2^52-1 unterscheiden. In einem Kalkulations-Programm: Das Ergebnis der Subtraktion =1E15-1 ist von 1E15 verschieden, das Ergebnis der Addition =1E15+1 ist jedoch (ohne Anzeige eines Fehlers !) identisch mit 1E15 Programmierung Für die Berechnung von Reihen bedeutet das: Wenn ein Element das Ergebnis um weniger als Ergebnis*10E-15 ändert, dann wird die Rechnung zwar ausgeführt, ergibt jedoch für dieses und alle weiteren Elemente stets das gleiche Ergebnis. Man muss diesen Fall erkennen und die Reihe abbrechen, sonst wird endlos und sinnlos weiter gerechnet. ♦ Details zur Darstellung von Zahlen, Trennung in Mantisse und Exponent, Standard IEEE-754
Abbruch Es ist bei der Programmierung von Reihen wichtig, den richtigen Zeitpunkt für den Abbruch zu erkennen. Abbruch bei maximaler Genauigkeit: Diese Variante ist am einfachsten und wird in der Praxis aller gängigen Programme verwendet: Wenn ergebnis=voriges_ergebnis dann Abbruch Man führt die Schleife so lange aus, bis sich das Ergebnis nicht mehr ändert. In diesem Fall erreicht man eine Genauigkeit (Auflösung) von theoretisch 1/2^52 oder -log(2^-52)=15.65 Dezimalstellen. Vorsicht: Nicht alle Reihen sind so einfach abzubrechen: Manche liefern Elemente, die (unendlich lange) zyklisch um einen Wert schwanken. Das ist entweder mathematisch begründet, oder kann sich aus Gründen der praktischen Ausführung ergeben.	Abbruch bei definierter Genauigkeit Diese Variante wird verwendet, wenn man in Zeit-kritischen Anwendungen besonders schnell rechnen muss: Man definiert eine relative oder absolute Grenze der Genauigkeit, z.B. rel_lim=0.01 für eine Genauigkeit von 1% In jeder Schleife wird geprüft: differenz = abs(ergebnis-voriges_ergebnis) abs_limit = ergebnis * rel_limit Wenn differenz<=abs_limit dann Abbruch Die angegebene Grenze muss vor der Grenze maximaler Genauigkeit erreicht werden, da die Schleife sonst endlos läuft !
Quad Precision Dieser Standard (Binary128) wird von derzeit gängigen Programmen kaum verwendet. Die Speicher-Verwaltung für 128-Bit Gleitkomma-Zahlen wäre kein Problem. Die Rechenzeiten für die maximale Genauigkeit von 112 Bit @ 34 Dezimalstellen wären selbst für leistungsfähige PC unangenehm hoch, insbesondere weil die Rechenzeit / Element in gängigen Algorithmen rasch zunimmt. Mit der allgemeinen Verfügbarkeit von Quad Precision muss man bei der Programmierung die gleichen Probleme lösen wie mit den heute üblichen Double Prcision Zahlen, lediglich angewendet auf längere Mantissen.	Sicherheits-Grenze Mindestens bei unbekannten Algorithmen begrenzt man unabhängig von der Genauigkeit die Anzahl der berechneten Elemente, z.B. auf einige 1000 Wenn das funktioniert, dann kann man die Sicherheits-Grenze erhöhen. Manche Algorithmen (Beispiele: → Berechnung von Pi) erreichen sonst die maximale Genauigkeit erst nach einigen Stunden Rechenzeit...

Absoluter Zahlenwert
Unabhängig von der ↑ Genauigkeit gibt es eine zweite Grenze für das Rechnen mit Gleitkomma-Zahlen: Für einen Double-Precision Exponenten werden 11 Bit verwendet, das entspricht den Werten -1024...+1023 bzw. Exponenten 2^-1024 bis 2^+1023 Damit sind große Gleitkomma-Zahlen im Bereich von ca. -1.8E+308 ... +1.8E+308 und kleine Zahlen im Bereich von ca. -5E-324 ... +5E-324 darstellbar. Wenn man bei einer Rechnung die absolute Grenze überschreitet, dann wird normalerweise ein Fehler angegeben.	Diese Grenzen erscheinen weit entfernt von jenen Zahlenwerten, mit denen man in Reihen normalerweise rechnet. Je nach Algorithmus kann man allerdings bei der Berechnung der einzelnen Elemente an die Grenzen gelangen. Insbesondere die → Fakultät-Funktion, die in vielen Algorithmen eingesetzt wird, wächst sehr rasch und erreicht die Grenze bereits bei 170! = 7.26E+306
Programmierung Kontrolle: Bei unbekannten Algorithmen sollte man nicht nur das Ergebnis untersuchen, sondern insbesondere auch die Teil-Ergebnisse bei Berechnung der einzelnen Elemente. Dabei kann man die Annäherung an absolute Grenzen rechtzeitig erkennen.	Fehler-Werte Je nach System erhält man beim Überschreiten der Grenze allgemeine Fehler oder spezielle Werte nach IEEE-754. Allgemeine Fehler kann man in jeder Programmiersprache erkennen und abfangen: In diesem Fall bricht man die Reihe ab und verwendet das letzte Fehler-freie Ergebnis.
Sonderwerte nach IEEE-754 Dieser Standard definiert einige spezielle Werte, z.B. 'Positive Null' = 0x0000 0000 0000 0000 'Negative Null' = 0x8000 0000 0000 0000 'Positiv unendlich' = 0x7FF0 0000 0000 0000 'Negativ unendlich' = 0xFFF0 0000 0000 0000 In Low-Level Anwendungen werden evtl. keine Fehler ausgelöst sondern die Sonderwerte zurückgegeben. Man muss das Auftreten derartiger Werte erkennen und danach wie bei einem Fehler verfahren: Reihe abbrechen, das letzte brauchbare Ergebnis verwenden.	Algorithmen umstellen In manchen Fällen kann man einen Algorithmus umstellen und damit die Überschreitung der absoluten Werte-Grenze verhindern oder zumindest verzögern. Beispiel: element = xyz/abc Wenn die Berechnung des Zählers xyz die Grenze überschreitet, dann kann man abwechselnd multiplizieren und dividieren: element = x/a element = element * y/b element = element * z/c Durch geschickte Aufteilung und Umstellung gelingt es manchmal, die absoluten Werte aller auftretenden Ergebnisse unter der Grenze zu halten.

Kalkulations-Programm

Dieses Beispiel zeigt die Programmierung der Arcustangens-Funktion mit einem Kalkulations-Programm (OpenOffice-Calc, MS-Excel, ...)
Das Programm dient nicht zur praktischen Anwendung - dazu gibt es die Standard-Funktion (hier in Zelle E1).

Man kann solche und ähnliche Beispiele jedoch zur Ausbildung verwenden. Die Programmierung einer Reihe lässt sich damit gut demonstrieren. Ein Kalkulations-Programm ist auch zur Kontrolle eigener Programme (z.B. in VBA, Java, ...) praktisch.

	A	B	C	D	E
1	x	0.5			=ARCTAN(B1)
2	i	Vorzeichen	Zähler	Element	Ergebnis
3	1	1	=$B$1^A3	=B3*C3/A3	=D3
4	=A3+2	=B3*-1	=$B$1^A4	=B4*C4/A4	=E3+D4
5	=A4+2	=B4*-1	=$B$1^A5	=B5*C5/A5	=E4+D5
6	=A5+2	=B5*-1	=$B$1^A6	=B6*C6/A6	=E5+D6
7	=A6+2	=B6*-1	=$B$1^A7	=B7*C7/A7	=E6+D7
8	=A7+2	=B7*-1	=$B$1^A8	=B8*C8/A8	=E7+D8

Geben sie für x in Zelle B2 beliebige Werte -0.8...+0.8 ein.
In jeder Zeile wird 1 Element der Reihe berechnet.
In der ersten Zeile werden einige Werte fix vorgegeben.
Alle folgenden Zeilen enthalten jeweils die gleichen Formeln: Füllen sie die Formeln zur Berechnung weiterer Elemente nach unten aus, z.B. von A8:E8 bis A100:E100

Variable i (Spalte A)

Hier wird die Reihe der ungeraden Zahlen berechnet, die in jedem Element 2mal vorkommen.

Vorzeichen (Spalte B)

Das Vorzeichen wechselt für jedes Element der Reihe.

Zähler (Spalte C)

Hier wird die Potenzfunktion beerchnet, die in jedem Element oberhalb des Bruchstrichs steht.

Element (Spalte D)

Jedes Element wird aus den 3 vorbereiteten Variablen der gleichen Zeile berechnet. Die absolute Größe der Elemente nimmt rasch ab. Je näher man den Wert von x an der theoretischen Grenze x=1 eingibt, umso langsamer nimmt die Größe der Elemente ab. Das ist eine Schwäche dieses Algorithmus.

Ergebnis (Spalte E)

Hier wird die laufende Summe aller bisher berechneten Elemente angegeben. Das Ergebnis nähert sich mit Fortschritt der Rechnung (nach unten) immer mehr dem theoretischen Wert (Zelle E1).

Anwendung ?

Alle in diesem Web vorgestellten Reihen-Algorithmen lassen sich nach diesem Muster in einem Kalkulations-Programm darstellen und untersuchen.

Das ist rasch auszuführen und bietet eine gute Übersicht. Es ist sehr empfehlenswert, eine derartige Kalkulation als Muster bei der Entwicklung eigener Programme zu verwenden.

Das gilt zwar meistens, jedoch nicht allgemein: Es gibt Algorithmen, die sich mit vernünftigem Aufwand nicht in einer Kalkulation programmieren lassen.

Grenzen:

Wenn der berechnete Wert einer Zelle die absoluten Granzen überschreitet, dann wird das als Fehler-Wert #ZAHL! angezeigt.
Wenn eine Rechnung die Grenze der Genauigkeit überschreitet, dann wird das nicht angezeigt !
Programmieren sie eine weitere Spalte, in welcher die Verbesserung des Ergebnisses berechnet wird, z.B.

F4=E4-E3 F5=E5-E4 usw.

Diese Werte sollten identisch mit jenen der Elemente (Spalte D) sein. Beim Erreichen der Grenze wird jedoch 0 angegeben, d.h. man sollte die Rechnung ab dieser Zeile nicht mehr fortsetzen.

Die Grenze der Genauigkeit ist nicht konstant, sondern hängt (wie auch bei den meisten anderen Reihen-Algorithmen) vom Wert des Arguments x ab !

Visual Basic (VBA)
Die Programmiersprache → Visual Basic (VBA) wurde als Beispiel gewählt, weil ein VBA-Interpreter in jedem gängigen Kalkulations-Programm enthalten ist. Wer kein derartiges Programm hat, kann kostenfrei OpenOffice aus dem Internet laden.	Hier wird allerdings nicht gezeigt, wie man VBA-Programme herstellt. ♦ Details zu VBA-Modulen
Name und Argumente: • Man wählt für eigene Funktionen nur Namen, die sicher nicht anderswo verwendet werden. • Die Funktion braucht als obligatorisches Argument die Variable x • Mit dem optionalen Argument nmax kann man die Anzahl der berechneten Elemente begrenzen. • Lange Zeilen wie diese kann man mit _ Underline-Zeichen teilen. Deklaration der Variablen: Alle im Programm verwendeten Variablen werden mit der Dim-Anweisung und dem zu verwendenden Typ (Boolean, Integer, Double) deklariert. Anfangswerte Vor der Berechnungs-Schleife werden alle nur 1mal notwendigen Arbeiten ausgeführt: Man weist allen Variablen einen Anfangswert zu (entspricht der ersten Zeile des Kalkulations-Programms). ● Summen erhalten fast immer den Anfangswert sum=0 ● Produkte erhalten fast immer den Anfangswert prod=1 (nur für Produkt-Algorithmen) ● Die Schleifen-Bedingung erhält den Wert doloop=True ● Der Schleifen-Zähler erhält den Wert n=0 • Alle Zeichen einer Zeile nach einem ' SingleQuote gelten als Kommentar und werden vom Programm ignoriert.	Beispiel: Berechnung der Arcustangens-Funktion mit Visual Basic (VBA) Function my_arctan( _ x As Double, _ Optional nmax As Integer = -1) _ As Double Dim doloop As Boolean Dim n, i, vorz As Integer Dim element, sum, sumv As Double ' Anfangs-Werte If nmax < 0 Then nmax = 1000 doloop = True vorz = 1 sum = 0 n = 0 ' Iterations-Schleife While doloop sumv = sum i = 2 * n + 1 element = vorz * x ^ i / i sum = sum + element n = n + 1 If (sum = sumv Or n>=nmax) Then doloop = False vorz = vorz * -1 Wend ' Ergebnis my_arctan = sum End Function
Iterations-Schleife Von allen Schleifen-Varianten ist die While-Schleife am besten zur Berechnung von Reihen geeignet. Alle Programm-Teile zwischen While...Wend werden so lange wiederholt, wie eine logische Bedingung erfüllt ist. ● In allen hier vorgestellten Beispiel-Programmen wird eine Variable zur Steuerung der Schleife verwendet (hier doloop). Diese Variable wird vor Beginn der Schleife =True gesetzt. Innerhalb der Schleife werden 2 Bedingungen mit logisch ODER (Or) kombiniert: Die Schleife wird mit doloop=False abgebrochen, wenn mindestens eine davon erfüllt ist: • Der Schleifenzähler n darf den gewünschten maximalen Wert nmax nicht überschreiten. • Die erwünschte oder maximale Genauigkeit ist erreicht, d.h. das Ergebnis ändert sich nicht mehr oder um weniger als eine vorgegebene Grenze.	• In jedem Schleifen-Durchgang wird 1 Element der Reihe berechnet: Berechnung eines Elements: • Die Variable sumv speichert das bisherige Ergebnis sum zum späteren Vergleich. • Die Zahl i wird aus dem Schleifen-Zähler berechnet. • Das Element der Reihe wird berechnet. • Zum bisherigen Ergebnis sum wird das Element addiert. • Der Schleifen-Zähler n wird erhöht. • Wenn sich das Ergebnis nicht geändert hat (sum=sumv), oder wenn der Zähler den maximalen Wert erreicht hat, dann wird die Abbruch-Variable doloop=False gesetzt. • Das Vorzeichen vorz wird für die nächste Schleife umgekehrt. • Nach dem Abbruch der Schleife wird das Ergebnis sum an das aufrufende Programm zurückgegeben.
Anwendung Man kann das VBA-Programm als 'Benutzerdefinierte Funktion' in jedem gängigen Kalkulations-Programm verwenden. Zur Berechnung bis an die Grenze der Genauigkeit geben sie z.B. diese Formel in die Zelle F1 ein: F1=my_arctan(B1) (Annahme: Das Argument x befindet sich in Zelle B1 )	Zur Berechnung einer begrenzten Anzahl von Elementen geben sie z.B. diese Formel in Zelle F3 ein: F3=my_arctan($B$1;A3-1) Diese Formel kann man nach unten ausfüllen. Das Ergebnis sollte gleich oder sehr ähnlich jenem des Kalkulations-Programms in Spalte E sein.

Javascript
Die Programmiersprache → Javascript (JS) wurde als Beispiel gewählt, weil ein JS-Interpreter in jedem Browser-Programm enthalten ist.	Man kann ohne spezielles Entwicklungs-Werkzeug eine Webseite mit einem eigenen JS-Programm herstellen und testen.
Die Funktion wurde fast genau analog zur ↑ Visual Basic-Version programmiert. Eine Version mit der Möglichkeit zum Live-Test finden sie auf der Seite zur → Reihen-Entwicklung von Winkelfunktionen. Eine Schwäche des Algorithmus ist die Verwendung der Potenz-Funktion (Math.pow). Auf der gleichen Seite wird gezeigt, wie man diese und andere Standard-Funktionen durch eigene ersetzt. Damit ist der gesamte Algorithmus auf die 4 Grundrechnungs-Arten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) zurückgeführt.	Beispiel: Berechnung der Arcustangens-Funktion mit Javascript function my_arctan(x,nmax) { if(nmax<0) {nmax=10000;} var vorz=1; var sum=0; var sumv=0; var i=0; var n=0; var doloop = true; while(doloop) { sumv = sum; i = 2 * n + 1; sum += vorz * Math.pow(x,i) / i; n++; if(sum==sumv \|\| n>=nmax) {doloop=false;} vorz *= -1; } return sum; }
Anwendung: Erstellen sie eine HTML oder XHTML-Webseite. Fügen sie ein <script>-Element in den <head> der Webseite ein, z.B.: <script type="text/javascript"> // <![CDATA[ function my_arctan(x,nmax) { ... } function test_arctan() { x = prompt("Argument -1...x...1","0.2"); y = my_arctan(x,-1); alert("my_arctan("+x+") = "+y); } // ]]> </script>	Tragen sie in das <script>-Element die Funktion my_arctan() (kompletter Text oben) und die Funktion test_arctan() (links) ein: Sie arbeitet als einfaches User-Interface zur Ein- und Ausgabe. Fügen sie an einer beliebigen Stelle im <body> der Webseite diesen HTML-Quelltext ein: <a href="javascript:test_arctan()"> Live-Test der Funktion my_arctan </a> ♣ Geben sie den Wert für x mit Komma-Punkt ein, nicht mit Beistrich (international und von allen Programmiersprachen wird nur der Komma-Punkt verwendet). ♣ Tipp: Der Live-Test oben funktioniert beim Anklicken !

Iterationen

Mit den Elementen einer Reihe schrittweise zum Ziel

Reihen

Berechnung

Ergebnis

Abbruch

Genauigkeit

Genauigkeit gegen Geschwindigkeit

Double Precision nach IEEE-754

Abbruch

Quad Precision

Absoluter Zahlenwert

Programmierung

Kalkulations-Programm

Variable i (Spalte A)

Vorzeichen (Spalte B)

Zähler (Spalte C)

Element (Spalte D)

Ergebnis (Spalte E)

Anwendung ?

Grenzen:

Visual Basic (VBA)

Name und Argumente:

Deklaration der Variablen:

Anfangswerte

Iterations-Schleife

Anwendung

Javascript

Anwendung:

Ausgewählte Links zum Thema 'Reihen-Algorithmen'

Ausgewählte Links zum Thema 'Reihen-Algorithmen'
● Formelsammlung: Reihenentwicklungen, Unendliche Reihen, ▲ OEIS: Online Encyclica of Integer Sequences: Lexikon von Zahlenfolgen	Wikipedia: Kategorie 'Folgen und Reihen', Reihenentwicklung, Reihe (Arithmetische, Geometrische, Binomische), Folge, (Arithmetische, Geometrische, Fibonacci), Grenzwert, Potenzreihe, Taylor-Reihe, Fourier-Reihe, Polynome (Trigonometrische), Kettenbruch, Approximation, Approx-Algorithmen, ...