| Positive ganze Zahlen werden intern (im PC-Speicher) ungefähr so gespeichert wie erwartet, d.h. als Binärzahlen, so wie angeschrieben. | Negative Zahlen werden zum Speichern in das sog. 2er-Komplement umgewandelt. Auf dieser Seite wird das demonstriert. |
 BitLevel
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Operationen auf Bit-Ebene |
| Live-Demo | Umwandlung ganzer Zahlen in das internbe Speicher-Format |
| Vorzeichen | Negative Zahlen, 2er-Komplement |
| Verwandte Themen |
Interne Darstellung:
Gleitkomma-Zahlen,
Zeichencodes Umwandlung Strings - (Binär)-Zahlen, Bit-Level Operatoren |
| Links |
Ausgewählte
Links zum Thema '2er-Komplement'
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Vorzeichen und 2er-Komplement |
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Die meisten Programmiersprachen bieten unterschiedliche Variablen der
Typen signed und unsigned, manche
auch für mehrere Speichergrößen (z.B. 8 Bit, 16 Bit, 32 Bit ..). ● Der Werte-Bereich für unsigned (positive ganze Zahlen) beträgt vmin=0; vmax=2b-1
Für b=8 Bit ergibt sich z.B. ein Bereich
vmin=0; vmax=28-1=255
● Für das Vorzeichen von signed Variablen wird 1 Bit benötigt. Ihr Werte-Bereich beträgt vmin=-2b-1; vmax=2b-1-1
Für b=8 Bit ergibt sich z.B. ein Bereich
vmin=-27=-128; vmax=27-1=127
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Als Vorzeichen-Bit wird das höchstwertige Bit (msb) verwendet.
Die Zahlen-Bits werden allerdings nur für positive Zahlen in der normalen
binären Form gespeichert. Sie können das in der Live-Demo testen - Positive signed-Zahlen innerhalb des zulässigen Werte-Bereichs werden exakt genauso gespeichert wie unsigned-Zahlen. ● Negative Zahlen werden nach einem speziellen Algorithmus (2er-Komplement) in ein Bitmuster umgewandelt. Das bringt Vorteile beim Rechnen auf Prozessor-Ebene. Negative signed-Zahlen ergeben ein Bitmuster im gleichen Bereich wie unsigned-Zahlen der oberen Werte-Hälfte ● Das gleiche Bitmuster kann daher unterschiedlich interpretiert werden, je nach der vereinbarten Variablen-Type ! Sie können das in der Live-Demo testen, wenn sie zwischen signed und unsigned umschalten. |
Umwandlung Negative Zahl → 2er-Komplement+ Positive Zahlen (innerhalb des Werte-Bereichs) bleiben unverändert.+ Das Vorzeichen negativer Zahlen wird umgekehrt. + Alle Bits werden umgekehrt + 1 wird addiert Beispiel-Vorgaben (Zahl, Speicher-Breite in Bit) n=-4; b=8;
BitLevel-Algorithmus (ohne Gewähr ! - Javascript bis b<32 )
k=n;
ergibt
if(k<0) {
mask=(2^b)-1;
}
k=((~(-k)) & mask)+1; k=252
Numerischer Algorithmus (ohne Gewähr ! - Javascript bis b<56 )
k=n;
if(k<0) {
mask=(2^b);
}
k=mask+n; |
Umwandlung 2er-Komplement → Negative Zahl+ Nur Zahlenwerte der oberen Hälfte des Werte-Bereichs werden umgewandelt.+ 1 wird subtrahiert + Alle Bits werden invertiert + Das Vorzeichen wird umgekehrt Beispiel-Vorgaben (Speicherwert, Bit) k=252; b=8;
BitLevel-Algorithmus (ohne Gewähr !)
n=k;
ergibt
mask=(2^b)-1; halb=mask >> 1; if(n>halb) {n=-((~(n-1)) & mask);} n=-4
Numerischer Algorithmus (ohne Gewähr !)
n=k;
mask=(2^b); if(n>mask/2) { n=k-mask;
}
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Die Bit-Umkehrung mit dem BitLevel NOT-Operator birgt
eine besondere Falle: Die binäre Darstellung positiver Zahlen enthält theoretisch unendlich viele führende 0-Bits. Praktisch ist die Anzahl führender 0-Bits durch die vereinbarte Speicher-Größe (z.B. 8,16,32 Bit) begrenzt. Moderne Programmiersprachen ohne ausdrückliche Typ-Vereinbarung entscheiden jedoch selbst die benötigte Speicher-Größe ! Die Bit-Umkehrung verwandelt jedes 0-Bit in ein 1-Bit. Bei dynamischer Speichergröße ergibt das eine unbekannte Anzahl führender 1-Bits und damit eine gefährliche Fehlerquelle ! |
Abhilfe: Nach jeder verdächtigen Operation (z.B. nach Bit-Inversion) wird die Anzahl der weiter verarbeiteten Bits justiert. Im Beispiel oben wird das durch Anwendung des BitLevel AND-Operators mit der Zahl 255 (für 1 Byte Speicherbreite) bewirkt. Für andere Speicher-Formate (b Bits) verwenden sie jeweils die Zahl 2b-1 |
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Biologie.de -
2er-Komplement Matthias Wimmer - 1er und 2er-Komplement |
Wikipedia: Zweierkomplement (de, en)
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| Zum Thema gibt es erstaunlich wenige brauchbare Links. | Weiterführende Informationen findet man am besten auf Webseitenl, die sich mit der internen Funktion der CPU befassen, z.B. mit Stichworten wie Rechenwerk, Addition, Subtraktion usw. |
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