Andere Mittelwerte: Geometrisch, Harmonisch, Quadratisch, ...
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Die 3 'Pythagoräischen Mittelwerte' sind das Arithmetische, das
Geometrische und das Harmonische Mittel.
Besondere Bedeutung haben die Mittelwerte für n=2 ,
da die Mittelwerte eine besondere Rolle im ästethischen Empfinden einnehmen.
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Für positive Werte xi ist
x(min) <= m(har) <= m(geo) <= m(ar) <= x(max)
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Geometrisches Mittel:
Dieser Mittelwert entspricht der n-ten Wurzel aus dem Produkt aller Werte
x(mg) = (x1 * x2 * x3 * .. *xn)^(1/n)
für VBA wird hier verwendet
x(mg) = x1^(1/n) * x2^(1/n) * .. * xn^(1/n)
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Das Geometrische Mittel spielt eine Rolle bei der Beschreibung relativer
Differenzen (z.B. Wachstum)
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Algorithmus für das Geometrische Mittel (VBA):
Diese Form der Berechnung vermeidet die Anhäufig großer Zahlen und
berechnet daher nicht das Produkt aller Zahlen.
Statt dessen wird das Produkt vom Anfangswert m=1 in jeder
Schleife mit xi^(1/n) multipliziert.
Da VBA keine Potenz-Funktion kennt, werden die n-tenWurzeln über den
Logarithmus berechnet.
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Function mean_geometric(x As Range) As Double
n = 1 / x.Count
m = 1
For Each xi In x
m = m * Exp(n * Log(xi))
Next xi
mean_geometric = m
End Function
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Harmonisches Mittel:
Dieser Mittelwert ist definiert als
x(mh) = n / (1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)
Dieser Mittelwert spielt u.a. eine Rolle bei der Geschwindigkeit:
Wenn ein Fahrzeug auf einer Bahn n Runden mit den
Geschwindigkeiten x1,x2,x3...x3 dreht, dann ist seine
Durchschnittsgeschwindigkeit das Harmonische Mittel der einzelnen
Runden-Geschwindigkeiten.
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Einige US-Schulen verwenden das Harmonische Mittel zur Ermittlung von
Gesamtnoten aus Einzelnoten. Dafür werden positive Leistungspunkte
verwendet (d.h. keine Leistung ->0 Punkte).
Das Harmonische Mittel gewichtet in diesem Fall schwache Leistungen
stärker als das Arithmetische Mittel.
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Algorithmus für das Harmonische Mittel (VBA):
Der Algorithmus dieser Function beginnt mit dem
Anfangswert m=0 und addiert in jeder Schleife den
Betrag 1/xi
Zuletzt wird die Anzahl n
durch m dividiert.
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Function mean_harmonic(x As Range) As Double
n = x.Count
m = 0
For Each xi In x
m = m + 1 / xi
Next xi
mean_harmonic = n / m
End Function
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Quadratisches Mittel:
Dieser Mittelwert (Root mean square, RMS) ist definiert als
x(mq) = wurzel( 1/n * (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) )
für den Algorithmus wird verwendet
x(mq) = wurzel( x1^2/n + x2^2/n + .. + xn^2/n)
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Dieser Mittelwert ist größer als alle anderen hier erwähnten
Mittelwerte und immer positiv.
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Algorithmus für das Quadratische Mittel (VBA):
Der Algorithmus dieser Funktion vermeidet die Anhäufung einer großen
Summe, und addiert in jeder Schleife den Betrag xi^2/n
Zuletzt wird die Quadratwurzel gezogen.
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Function mean_quadratic(x As Range) As Double
n = x.Count
m = 0
For Each xi In x
m = m + xi * xi / n
Next xi
mean_quadratic = Sqr(m)
End Function
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Weitere verwandte Begriffe werden in der Statistik verwendet:
Median (Zentralwert), Modus (Dichtester Wert), Perzentile (Wertebereiche
von Variablen, z.B. Quartile), usw.
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