BigInt - Rechnen mit großen ganzen Zahlen
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Die hier vorgestellten Funktionen großer ganzer Zahlen sind im
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Basic-Modul BigInt enthalten, welches sie mit jedem Standard
→ Kalkulations-Programm
(Spreadsheet, Tabellen-Kalkulation) verwenden können.
Die Funktionen sind in der Programmiersprache
→
Basic (LibreOffice-Basic, Visual Basic, VBA) programmiert.
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Sie können das
→
Basic-Modul BigInt kostenfrei laden und für eigene
Programme verwenden.
♦ Details zur Anwendung der Funktionen finden
sie in den Demo-Dateien.
Die Verwendung für den eigenen privaten Gebrauch ist kostenfrei, jedoch ohne Gewähr !
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Ziffern-String
Das hier vorgestellte
→ Modul BigInt verwendet ebenso wie die
entsprechenden Module der modernen Programmiersprachen Ziffern-Strings zur Darstellung
von beliebig großen ganzen Zahlen.
Ein Ziffern-String ist ein Text, der lediglich aus den
DezimalZiffern 0...9 besteht, allenfalls noch aus einem
führenden - Vorzeichen. Sie können solche Strings
z.B. mit dieser Formel in einer Zelle angeben: ="123"
Das von der Formel 'berechnete' Ergebnis sieht genauso aus wie die Zahl 123, wird jedoch
ohne weitere Maßnahmen linksbündig dargestellt,
so wie jeder andere Text.
Große 'normale' Zahlen werden ohne weitere Maßnahme im 'wissenschaftlichen'
Format angezeigt, z.B. 1,234E+12
Zum Vergleich mit BigInt-Variablen muss man alle
Stellen anzeigen: Dazu formatieren sie diese Zellen als Zahlen mit 0 Nachkomma-Stellen.
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Die hier vorgestellten Basic-Funktionen können mit Ziffern-Strings rechnen.
Dazu werden die gleichen Regeln (Algorithmen) verwendet wie früher zum manuellen
Rechnen mit Papier und Bleistift. Die Programmierung einfacher Beispiele ist daher
keine schwierige Aufgabe. In diesem Web finden sie dazu Beispiele in den
Programmiersprachen Basic (VBA) und JavaScript.
Alle Standard Kalkulations-Programme können ebenfalls mit Ziffern-Strings rechnen,
obwohl das nicht empfehlenswert ist.
Die Formel ="123"+4 berechnet das
Ergebnis 127
Das funktioniert allerdings nur mit Strings von maximal 15-16 Ziffern fehlerfrei, danach
werden alle folgenden Stellen auf Null gesetzt. BigInt-Funktionen
rechnen fehlerfrei bis zur maximalen String-Länge, das sind je nach Programm und
Version theoretisch bis zu 32000 Ziffern.
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Typ-Umwandlung
=BigInt_New(zahl)
Diese Funktion dient zur Umwandlung einer (Standard)-Zahl in
einen BigInt Ziffern-String.
Als Argument kann man eine Zahl (z.B. 123), einen Ziffern-String
(z.B. "234") oder die Adresse einer Zelle
(z.B. A1) angeben. Diese Funktion ist nicht notwendig und
nur als Analogie zu modernen Objekt-orientierten Methoden enthalten:
Alle BigInt-Funktionen akzeptieren Zahlen, Ziffern-Strings
oder Adressen als Argumente.
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=BigInt_Value(zahl)
Die Funktion dient zur Umwandlung einer BigInt-Variablen
(=eines Ziffern-Strings) in eine 'normale' Zahl. Das Ergebnis ist identisch mit
jenem der Standard-Funktion =WERT()
Bei der Umwandlung werden nur die ersten 15-16 Dezimalstellen fehlerfrei erfasst,
alle weiteren Stellen werden =0 gesetzt. Das liegt an der
internen Darstellung von Zahlen mit dem
→ Typ 'Double Precision'
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ZufallsZahlen
=BigInt_Random(ziffern;trigger)
Die Funktion erzeugt positive ganze BigInt-Zahlen fast
beliebiger Größe.
Mit dem Argument ziffern wird die Anzahl der zu
erzeugenden Zufalls-Ziffern angegeben.
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Basic (VBA)-Funktionen werden nur bei Änderung ihrer
Argumente neu berechnet. Das optionale Argument trigger
dient dazu, eine neue Berechnung auszulösen. Wenn die Funktion so reagieren
soll wie die Standard-Funktion =ZUFALLSZAHL(), dann verwenden
sie diese als Trigger, z.B.:
=BigInt_Random(50;ZUFALLSZAHL())
erzeugt bei jeder Änderung sowie mit Taste F9 eine
neue Zufallszahl von 50 Ziffern.
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=BigInt_RandomSgn(ziffern;trigger)
erzeugt positive und negative Zufallszahlen mit je 50% Wahrscheinlichkeit.
Beide Funktionen eignen sich besonders zum Test und für Experimente
mit BigInt-Rechnungen.
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Die Länge der erzeugten BigInt-Zahlen kann auch
kleiner sein als mit dem Argument ziffern angegeben:
Mit 10% Wahrscheinlichkeit wird als 1. Ziffer eine Null erzeugt,
mit 1% Wahrscheinlichkeit auch als 2. Ziffer, usw. Da führende Nullen
automatisch entfernt werden, haben diese Zahlen weniger Ziffern.
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Addition
=BigInt_Add(zahl1;zahl2)
Diese Funktion addiert die beiden BigInt-Argumente
zahl1+zahl2
Sie finden eine ↑
Live-Demonstration auf dieser Seite.
Als Argumente kann man Zahlen oder Ziffern-Strings verwenden. Das gilt
für alle BigInt-Funktionen.
Je nach Vorzeichen der beiden Argumente wird intern addiert oder subtrahiert.
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Subtraktion
=BigInt_Sub(zahl1;zahl2)
Diese Funktion subtrahiert die beiden BigInt-Argumente
zahl1-zahl2
Je nach Vorzeichen der beiden Argumente wird intern subtrahiert oder addiert.
Bei der Programmierung der internen Subtraktion muss man die
Fälle zahl1<zahl2
oder zahl1>zahl2 unterscheiden.
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Multiplikation
=BigInt_Mul(zahl1;zahl2)
Die Funktion multipliziert die beiden
BigInt-Argumente zahl1*zahl2
=BigInt_Mul2(zahl)
Diese Funktion verdoppelt das Argument zahl
Sie ist als Sonderfall enthalten, weil sie besonders einfach zu programmieren ist,
und man damit die Programmierung (=die Ziffern-weise Berechnung) am besten
demonstrieren kann.
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Division
=BigInt_Div(zahl1;zahl2)
Die Funktion berechnet die ganzzahlige (!) Division der beiden
BigInt-Argumente zahl1\zahl2
Modulo (Rest)-Funktion
=BigInt_Mod(zahl1;zahl2)
Die Funktion berechnet den Rest bei ganzahliger Division der
beiden BigInt-Argumente zahl1%zahl2
♦ Details zur
Modulo-Funktion
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Potenzierung
=BigInt_Pow(zahl1;zahl2)
Die Funktion berechnet die Potenzierung der beiden
BigInt-Argumente zahl1^zahl2
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Fakultät (Faktorielle)-Funktion
=BigInt_Fact(zahl)
Die Funktion berechnet die
→ Fakultät-Funktion
zahl! = 1 * 2 * 3 * ... * zahl
und zwar für beliebige ganze Zahlen, auch jenseits der
Grenze 170! der Standard-Funktion.
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AbsolutWert
=BigInt_Abs(zahl)
Die Funktion gibt den AbsolutWert des
BigInt-Arguments zahl zurück, ähnlich
wie die Standard-Funktion =ABS()
Sie wandelt ein allfälliges negatives Vorzeichen in ein positives um.
Die BigInt-Version liefert jedoch keine Zahl sondern
einen Ziffern-String mit absoluter Genauigkeit.
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Vorzeichen
=BigInt_Sgn(zahl)
Die Funktion berechnet das Vorzeichen des
BigInt-Arguments zahl, ebenso wie die
Standard-Funktion =VORZEICHEN().
Sie gibt =-1 für negative Argumente
zurück, =0 für Nullen
und =1 für positive Argumente.
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Wissenschaftliches Format
Bei der Arbeit mit großen Zahlen ist es mühsam, die vielen Ziffern
in einem Kalkulations-Blatt anzuzeigen.
Diese Funktion berechnet z.B. mit voller Genauigkeit
=BigInt_Fact(300)
einen Ziffern-String von >600 Zeichen.
Die Umwandlung in eine 'normale' Zahl würde alle Ziffern nach den ersten 15
abschneiden und ist hier nicht möglich, weil die Zahl sowohl die Grenze der
↓ Genauigkeit
als auch den ↓ Werte-Bereich
normaler Zahlen übersteigt.
Das Modul Bigint bietet deshalb eigene Funktionen zur
bequemen Handhabung von großen Zahlen.
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=BigInt_Sci(zahl;ziffern)
Diese Funktion gibt einen String im bekannten 'wissenschaftlichen' Format zurück,
die Zahl wird mit ebenso vielen Nachkomma-Ziffern dargestellt wie angegeben.
Beispiel:
=BigInt_Sci(BigInt_Fact(300);5)
erzeugt diese bequem lesbare Ausgabe:
3,06057E+607
Weitere verwandte Funktionen geben die dezimale Mantisse bzw. den Exponenten
einer BigInt-Zahl als 'normale' Zahlen zurück,
mit denen man mit Standard-Methoden weiter rechnen kann:
=BigInt_SciMant(zahl)
=BigInt_SciExp(zahl)
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